극한은 함수가 어떤 점에서의 정의값이 아니라, 그 점 근처에서 함수가 어떻게 동작하는지를 나타냅니다. 예를 들어, 함수 f(x) = (x² − 4)/(x − 2)는 x가 2에 가까워질수록 4에 가까워집니다. 함수는 x = 2에서 정의되지 않지만, 극한값은 4입니다.
극한은 미적분의 기초입니다. 도함수는 차분의 몫의 극한으로 정의됩니다. 적분은 합의 극한입니다. 함수의 연속성은 극한으로 정의됩니다. 함수가 어떤 점에서 연속이면 그 점에서의 극한값이 함수의 값과 같습니다.
극한은 한쪽으로 치우치거나, 무한대이거나, 아예 무한대일 수 있습니다. 코시와 바이어슈트라스가 개발한 엡실론-델타 정의는 미적분학을 엄밀하게 만들었습니다. 극한이 없다면 미적분학은 "근접한다"는 모호한 개념에 의존하게 될 것입니다. 이 개념은 미묘하지만 필수적입니다.
- 함수의 값에 접근하는 방식
- 미분과 적분의 기초
- 연속성을 정의합니다
- 엡실론-델타 정의에 의해 형식화됨
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