Ein Grenzwert beschreibt das Verhalten einer Funktion in der Nähe eines Punktes, nicht unbedingt genau an diesem Punkt. Wenn x sich 2 annähert, nähert sich die Funktion f(x) = (x² − 4)/(x − 2) dem Wert 4 an, obwohl die Funktion an der Stelle x = 2 nicht definiert ist. Der Grenzwert ist 4.

Grenzwerte bilden die Grundlage der Analysis. Ableitungen sind als Grenzwerte von Differenzenquotienten definiert. Integrale sind Grenzwerte von Summen. Stetigkeit wird durch Grenzwerte definiert: Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn der Grenzwert an dieser Stelle dem Funktionswert entspricht.

Grenzwerte können einseitig, unendlich oder im Unendlichen liegen. Die formale Epsilon-Delta-Definition, entwickelt von Cauchy und Weierstrass, machte die Infinitesimalrechnung streng. Ohne Grenzwerte würde die Infinitesimalrechnung auf vagen Vorstellungen von „Annäherung“ beruhen. Das Konzept ist subtil, aber unerlässlich.

• Der Wert einer Funktion nähert sich
• Grundlagen der Ableitungen und Integrale
• Definiert Kontinuität
• Formalisiert durch die Epsilon-Delta-Definition