Tôpô học nghiên cứu các thuộc tính tồn tại khi bị kéo giãn, uốn cong và xoắn – nhưng không tồn tại khi bị xé hoặc dán. Một cốc cà phê và một chiếc bánh rán về mặt tôpô học là giống nhau vì cả hai đều có một lỗ. Một hình cầu và một hình lập phương là tương đương nhau vì hình này có thể được biến dạng thành hình kia mà không cần cắt.

Lĩnh vực này bắt đầu từ thế kỷ XIX với công trình nghiên cứu Bảy cây cầu Königsberg của Euler. Nó phát triển mạnh mẽ nhờ Poincaré, Hausdorff và những người khác. Các khái niệm bao gồm tập mở, tính liên tục, tính compact và tính liên thông.

Hình học tôpô có ứng dụng trong vật lý, sinh học, khoa học máy tính và phân tích dữ liệu. Nó là nền tảng của việc nghiên cứu các nút thắt, bề mặt và không gian đa chiều. Môn học này trừu tượng nhưng lại rất thiết thực, từ thiết kế mạng lưới đến hình dạng của vũ trụ.

• Nghiên cứu các đặc tính được bảo toàn dưới biến dạng
• Cốc cà phê và bánh rán có tính chất tương đương về mặt tôpô học.
• Bắt đầu với bài toán Bảy cây cầu của Euler.
• Được sử dụng trong vật lý, sinh học và phân tích dữ liệu.