Một số số không thể viết dưới dạng phân số. Căn bậc hai của 2 là một. Phần thập phân của nó không bao giờ kết thúc và không bao giờ lặp lại. Người Hy Lạp đã phát hiện ra điều này vào khoảng năm 500 trước Công nguyên, và phát hiện này đã làm lung lay niềm tin của họ rằng tất cả các số đều là số hữu tỉ.

Pi là số vô tỷ. Tương tự, e, cơ số của logarit tự nhiên, cũng là số vô tỷ. Tỷ lệ vàng, xấp xỉ 1,618, cũng là số vô tỷ. Trên thực tế, số lượng số vô tỷ nhiều hơn rất nhiều so với số hữu tỷ, mặc dù cả hai tập hợp đều vô hạn.

Số vô tỷ lấp đầy khoảng trống giữa các số hữu tỷ trên trục số. Chúng cùng nhau tạo thành tập hợp số thực. Trên thực tế, chúng ta thường xấp xỉ chúng bằng số thập phân hoặc phân số. Nhưng bản chất chính xác của chúng—không lặp lại, không kết thúc, không phải là tỉ số—mới là điều xác định chúng. Chúng rất cần thiết trong hình học, giải tích và phân tích vi phân.

• Không thể viết dưới dạng tỉ lệ của các số nguyên.
• Phép khai triển thập phân không bao giờ kết thúc hoặc lặp lại.
• Ví dụ: √2, π, e, tỷ lệ vàng
• Cùng với các số hữu tỉ, chúng ta tạo thành tập hợp số thực.