Manche Zahlen lassen sich nicht als Brüche darstellen. Die Quadratwurzel aus 2 ist 1. Ihre Dezimaldarstellung ist unendlich und periodisch. Die Griechen entdeckten dies um 500 v. Chr., und diese Entdeckung erschütterte ihren Glauben, dass alle Zahlen rational seien.

Pi ist irrational. Ebenso e, die Basis des natürlichen Logarithmus. Auch der Goldene Schnitt, ungefähr 1,618, ist irrational. Tatsächlich gibt es weitaus mehr irrationale als rationale Zahlen, obwohl beide Mengen unendlich sind.

Irrationale Zahlen füllen die Lücken zwischen den rationalen Zahlen auf der Zahlengeraden. Zusammen bilden sie die reellen Zahlen. In der Praxis nähern wir sie durch Dezimalzahlen oder Brüche an. Doch ihre genaue Natur – nicht periodisch, nicht abbrechend, kein Verhältnis – definiert sie. Sie sind grundlegend für Geometrie, Analysis und Differentialrechnung.

• Lässt sich nicht als Verhältnis von ganzen Zahlen darstellen
• Die Dezimalerweiterung hört nie auf und wiederholt sich nie.
• Beispiele: √2, π, e, Goldener Schnitt
• Zusammen mit den rationalen Zahlen bilden sie die reellen Zahlen.