Μερικοί αριθμοί δεν μπορούν να γραφτούν ως κλάσματα. Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ένα. Το δεκαδικό ανάπτυγμά της δεν τελειώνει ποτέ και δεν επαναλαμβάνεται ποτέ. Οι Έλληνες το ανακάλυψαν αυτό γύρω στο 500 π.Χ., και η ανακάλυψη αυτή διέψευσε την πεποίθησή τους ότι όλοι οι αριθμοί ήταν ρητοί.

Το π είναι άρρητος. Όπως και το e, η βάση των φυσικών λογαρίθμων. Η χρυσή τομή, περίπου 1,618, είναι επίσης άρρητη. Στην πραγματικότητα, οι άρρητοι αριθμοί υπερτερούν αριθμητικά των ρητών, παρόλο που και τα δύο σύνολα είναι άπειρα.

Οι άρρητοι αριθμοί συμπληρώνουν τα κενά μεταξύ των ρητών αριθμών στην αριθμογραμμή. Μαζί σχηματίζουν τους πραγματικούς αριθμούς. Στην πράξη, τους προσεγγίζουμε με δεκαδικά ή κλάσματα. Αλλά η ακριβής φύση τους —μη επαναλαμβανόμενοι, μη τερματικοί, όχι αναλογία— είναι αυτό που τους ορίζει. Είναι απαραίτητοι στη γεωμετρία, τον λογισμό και την ανάλυση.

• Δεν μπορεί να γραφτεί ως αναλογία ακεραίων αριθμών
• Η δεκαδική επέκταση δεν τελειώνει ποτέ ούτε επαναλαμβάνεται
• Παραδείγματα: √2, π, e, χρυσή τομή
• Μαζί με τους ρητούς αριθμούς σχηματίζουν τους πραγματικούς αριθμούς