Některá čísla nelze zapsat jako zlomky. Druhá odmocnina ze 2 je jednička. Její desetinný rozvoj nikdy nekončí a nikdy se neopakuje. Řekové to objevili kolem roku 500 př. n. l. a tento objev otřásl jejich přesvědčením, že všechna čísla jsou racionální.

Pí je iracionální. Stejně tak e, základ přirozeného logaritmu. Zlatý řez, přibližně 1,618, je také iracionální. Ve skutečnosti iracionálních čísel výrazně převyšuje racionální, i když obě množiny jsou nekonečné.

Iracionální čísla vyplňují mezery mezi racionálními čísly na číselné ose. Společně tvoří reálná čísla. V praxi je aproximujeme desetinnými čísly nebo zlomky. Ale jejich přesná povaha – neopakující se, neukončující, nikoli poměr – je to, co je definuje. Jsou nezbytná v geometrii, kalkulu a analýze.

• Nelze zapsat jako poměr celých čísel
• Desetinná expanze nikdy nekončí ani se neopakuje
• Příklady: √2, π, e, zlatý řez
• Spolu s racionálními čísly tvoří reálná čísla