Certains nombres ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions. La racine carrée de 2 est égale à 1. Son développement décimal est infini et non périodique. Les Grecs l'ont découvert vers 500 avant notre ère, et cette découverte a remis en question leur croyance en la rationalité de tous les nombres.

Pi est irrationnel. Il en va de même pour e, la base des logarithmes naturels. Le nombre d'or, approximativement égal à 1,618, est également irrationnel. En réalité, les nombres irrationnels sont bien plus nombreux que les nombres rationnels, même si les deux ensembles sont infinis.

Les nombres irrationnels comblent l'intervalle entre les nombres rationnels sur la droite numérique. Ensemble, ils forment les nombres réels. En pratique, on les approche par des nombres décimaux ou des fractions. Mais c'est leur nature exacte — non périodique, infinie et non proportionnelle — qui les définit. Ils sont essentiels en géométrie, en calcul différentiel et intégral et en analyse.

• Ne peut pas être écrit sous forme de rapport d'entiers
• Le développement décimal est infini et ne se répète jamais.
• Exemples : √2, π, e, nombre d'or
• Avec les nombres rationnels, on forme les nombres réels.