Некоторые числа нельзя записать в виде дроби. Квадратный корень из 2 равен единице. Его десятичное разложение никогда не заканчивается и никогда не повторяется. Это открытие греки сделали около 500 года до нашей эры, и оно поколебало их убеждение в том, что все числа рациональны.

Число Пи иррационально. То же самое относится и к числу e, основанию натуральных логарифмов. Золотое сечение, приблизительно равное 1,618, также иррационально. На самом деле, иррациональных чисел значительно больше, чем рациональных, хотя оба множества бесконечны.

Иррациональные числа заполняют промежутки между рациональными числами на числовой прямой. Вместе они образуют действительные числа. На практике мы аппроксимируем их десятичными дробями или обыкновенными дробями. Но именно их точная природа — непериодическая, бесконечная, не являющаяся отношением — определяет их. Они необходимы в геометрии, математическом анализе и статистическом анализе.

• Не может быть представлено в виде отношения целых чисел.
• Десятичное расширение никогда не заканчивается и не повторяется.
• Примеры: √2, π, e, золотое сечение.
• Вместе с рациональными числами образуются действительные числа.