Bazı sayılar kesir olarak yazılamaz. 2'nin karekökü birdir. Ondalık açılımı asla bitmez ve asla tekrar etmez. Yunanlılar bunu MÖ 500 civarında keşfettiler ve bu keşif, tüm sayıların rasyonel olduğu inançlarını sarstı.

Pi sayısı irrasyoneldir. Doğal logaritmanın tabanı olan e sayısı da irrasyoneldir. Yaklaşık 1,618 olan altın oran da irrasyoneldir. Aslında, her iki küme de sonsuz olmasına rağmen, irrasyonel sayılar rasyonel sayılardan çok daha fazladır.

İrrasyonel sayılar, sayı doğrusunda rasyonel sayılar arasındaki boşlukları doldurur. Birlikte gerçek sayıları oluştururlar. Pratikte, onları ondalık sayılar veya kesirlerle yaklaşık olarak ifade ederiz. Ancak, tekrarlamayan, sonlanmayan ve oran olmayan yapıları onları tanımlayan özelliktir. Geometri, kalkülüs ve analizde temel öneme sahiptirler.

• Tamsayıların oranı olarak yazılamaz.
• Ondalık sayı sisteminin genişlemesi asla bitmez veya tekrarlanmaz.
• Örnekler: √2, π, e, altın oran
• Rasyonel sayılarla birlikte gerçek sayıları oluştururlar.