Đôi khi các nhà toán học cảm nhận được một quy luật trước khi họ có thể chứng minh nó. Giả thuyết là một phát biểu có vẻ đúng dựa trên bằng chứng, nhưng thiếu bằng chứng chặt chẽ. Nó nằm ở khoảng giữa quan sát và sự chắc chắn.

Giả thuyết Goldbach, được đề xuất vào năm 1742, cho rằng mọi số nguyên chẵn lớn hơn 2 đều là tổng của hai số nguyên tố. Giả thuyết này đã được kiểm chứng với số lượng lớn, nhưng vẫn chưa có bằng chứng nào được chứng minh. Giả thuyết Collatz, về một quy trình lặp đơn giản, vẫn còn bỏ ngỏ bất chấp hàng thập kỷ nỗ lực. Định lý cuối cùng của Fermat là một giả thuyết trong hơn 350 năm cho đến khi Andrew Wiles chứng minh nó vào năm 1994.

Các giả thuyết thúc đẩy nghiên cứu. Chúng tập trung sự chú ý, gợi ý các phương pháp mới và đôi khi hóa ra là sai. Một ví dụ phản chứng có thể bác bỏ một giả thuyết chỉ sau một đêm. Việc theo đuổi bằng chứng, chứ không phải bản thân giả thuyết, thường tạo ra những thành tựu toán học sâu sắc nhất.

• Thông tin được cho là đúng nhưng chưa được chứng minh.
• Goldbach và Collatz là những ví dụ nổi tiếng.
• Có thể bị bác bỏ bằng một ví dụ phản chứng duy nhất.
• Thúc đẩy nghiên cứu và các phương pháp mới