Il arrive que les mathématiciens pressentent une régularité avant même de pouvoir la démontrer. Une conjecture est un énoncé qui semble vrai d'après des indices, mais qui n'est pas rigoureusement démontré. Elle se situe à la frontière entre l'observation et la certitude.

La conjecture de Goldbach, proposée en 1742, affirme que tout entier pair supérieur à 2 est la somme de deux nombres premiers. Elle a été vérifiée pour de très grands nombres, mais aucune démonstration n'existe. La conjecture de Collatz, relative à un processus itératif simple, demeure ouverte malgré des décennies de recherche. Le dernier théorème de Fermat est resté une conjecture pendant plus de 350 ans, jusqu'à ce qu'Andrew Wiles le démontre en 1994.

Les conjectures stimulent la recherche. Elles focalisent l'attention, suggèrent de nouvelles méthodes et s'avèrent parfois fausses. Un contre-exemple peut anéantir une conjecture du jour au lendemain. C'est souvent la recherche de la preuve, et non la conjecture elle-même, qui donne lieu aux découvertes mathématiques les plus profondes.

• Affirmation considérée comme vraie mais non prouvée
• Goldbach et Collatz en sont des exemples célèbres.
• Peut être réfuté par un seul contre-exemple
• Stimuler la recherche et les nouvelles méthodes