聯合變化描述的是一個變數與兩個或多個其他變數的乘積成正比的關係。如果 z 與 x 和 y 聯合變化，則 z 等於 k 乘以 x 乘以 y，其中 k 為常數。 x 加倍，z 也加倍。 y 加倍，z 也加倍。 x 和 y 都加倍，z 變成原來的四倍。

長方體的體積與其長、寬、高成正比。 V = lwh。常數 k 為 1。三角形的面積與其底和高成正比。 A = 1/2 bh。常數為 1/2。兩個物體之間的引力與其質量成正比，與它們之間距離的平方成反比。這就是牛頓萬有引力定律。

關節變異範例

• 稜柱的體積：V = lwh。
• 三角形面積：A = 1/2 bh。
• 萬有引力：F = G m1 m2 / r^2。
• 電功率：P = VI。
• 理想氣體定律：PV = nRT。

聯合變分將直接變分與多個變數結合。如果 z 與 x 和 y 聯合變化，且 x 為常數，則 z 與 y 成正比；如果 y 為常數，則 z 與 x 成正比。常數 k 用於根據具體情況調整這種關係。在物理學中，這些常數通常是基礎性的。例如，G 是萬有引力常數，R 是理想氣體常數。在商業領域，這些常數可能是轉換因子或效率率。聯合變異是一種強大的建模工具，它能夠捕捉多個因素如何共同作用產生結果。因素越多，關係就越複雜。但其結構很簡單：z 等於 k 乘以變數的乘積。這種簡潔性使得聯合變分在科學、工程和經濟學領域都非常有用。