联合变化描述的是一个变量与两个或多个其他变量的乘积成正比的关系。如果 z 与 x 和 y 联合变化，则 z 等于 k ​​乘以 x 乘以 y，其中 k 为常数。x 加倍，z 也加倍。y 加倍，z 也加倍。x 和 y 都加倍，z 变为原来的四倍。

长方体的体积与其长、宽、高成正比。V = lwh。常数 k 为 1。三角形的面积与其底和高成正比。A = 1/2 bh。常数为 1/2。两个物体之间的引力与其质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。这就是牛顿万有引力定律。

关节变异示例

• 棱柱的体积：V = lwh。
• 三角形面积：A = 1/2 bh。
• 万有引力：F = G m1 m2 / r^2。
• 电功率：P = VI。
• 理想气体定律：PV = nRT。

联合变分将直接变分与多个变量结合起来。如果 z 与 x 和 y 联合变化，且 x 为常数，则 z 与 y 成正比；如果 y 为常数，则 z 与 x 成正比。常数 k 用于根据具体情况调整这种关系。在物理学中，这些常数通常是基础性的。例如，G 是万有引力常数，R 是理想气体常数。在商业领域，这些常数可能是转换因子或效率率。联合变分是一种强大的建模工具，它能够捕捉多个因素如何共同作用产生结果。因素越多，关系就越复杂。但其结构很简单：z 等于 k ​​乘以变量的乘积。这种简洁性使得联合变分在科学、工程和经济学领域都非常有用。