任何邏輯系統都必須從某個起點開始。公理是無需證明即可被視為正確的陳述，它作為推導其他結論的出發點。公理並非隨意選擇；它們的選取是因為它們看似不言自明、有用，或有助於建構一個自洽的理論。

歐幾裡得幾何學的五條公設就是經典的例子。幾個世紀以來，它們一直被視為關於物理空間的不言而喻的真理。當數學家質疑平行公設時，非歐幾何應運而生，這顯示公理是假設，而非絕對事實。現代數學通常更廣泛地使用“公理”一詞，指任何在形式體系中被接受的陳述。

集合論有其自身的公理，例如選擇公理，這條公理在一些數學家中仍存在爭議。實際上，公理定義了遊戲規則。改變公理，遊戲規則就會改變，有時會產生令人驚訝且有用的結果。

• 聲明被接受，無需提供證據
• 邏輯推理的起點
• 歐幾裡得的公設就是一個經典的例子。
• 不同的公理集會產生不同的數學系統