Ethvert logisk system må starte et sted. Et aksiom er en udtalelse, der tages som sand uden bevis, og som tjener som udgangspunkt for at udlede andre resultater. Aksiomer er ikke vilkårlige; de ​​vælges, fordi de virker selvindlysende, nyttige eller frugtbare til at opbygge en konsistent teori.

Euklids fem postulater for geometri er det klassiske eksempel. I århundreder blev de behandlet som åbenlyse sandheder om det fysiske rum. Da matematikere satte spørgsmålstegn ved det parallelle postulat, opstod der ikke-euklidiske geometrier, der viste, at aksiomer er antagelser, ikke absolutte fakta. Moderne matematik bruger ofte udtrykket aksiom mere løseligt og henviser til enhver udtalelse, der accepteres inden for et formelt system.

Mængdelære har sine egne aksiomer, såsom valgaksiomet, som fortsat er kontroversielt blandt nogle matematikere. I praksis definerer aksiomer spillets regler. Ændr dem, og du får et andet spil, nogle gange med overraskende og nyttige resultater.

• Udtalelse accepteret uden bevis
• Udgangspunkt for logisk deduktion
• Euklids postulater er det klassiske eksempel
• Forskellige aksiomsæt giver forskellige matematiske systemer