あらゆる論理体系は、どこかから出発しなければならない。公理とは、証明なしに真であるとみなされる命題であり、他の結果を導き出すための出発点となる。公理は恣意的なものではなく、自明である、有用である、あるいは一貫性のある理論を構築する上で有益であると思われるからこそ選ばれるのである。

ユークリッド幾何学の5つの公準は、その典型的な例です。何世紀にもわたり、それらは物理空間に関する自明の真理として扱われてきました。しかし、数学者たちが平行線公準に疑問を呈したことで、非ユークリッド幾何学が出現し、公理は絶対的な事実ではなく、仮定に過ぎないことが示されました。現代数学では、公理という用語はより広い意味で用いられることが多く、形式体系の中で受け入れられているあらゆる命題を指す場合もあります。

集合論には、選択公理など独自の公理があり、選択公理は一部の数学者の間で依然として議論の的となっている。実際には、公理はゲームのルールを定義する。それらを変更すると、ゲームは別のものになり、時には驚くべき、そして有用な結果をもたらす。

• 証拠なしに声明が受け入れられた
• 論理的推論の出発点
• ユークリッドの公理は古典的な例である
• 異なる公理セットは異なる数学体系を生み出す。