Każdy system logiczny musi mieć jakiś początek. Aksjomat to stwierdzenie przyjęte za prawdziwe bez dowodu, służące jako punkt wyjścia do wyprowadzenia innych wyników. Aksjomaty nie są arbitralne; są wybierane, ponieważ wydają się oczywiste, użyteczne lub owocne w budowaniu spójnej teorii.

Klasycznym przykładem jest pięć postulatów geometrii Euklidesa. Przez wieki traktowano je jako oczywiste prawdy dotyczące przestrzeni fizycznej. Kiedy matematycy zakwestionowali postulat równoległości, pojawiły się geometrie nieeuklidesowe, pokazujące, że aksjomaty są założeniami, a nie absolutnymi faktami. Współczesna matematyka często używa terminu aksjomat w luźniejszym znaczeniu, odnosząc się do każdego stwierdzenia akceptowanego w ramach systemu formalnego.

Teoria mnogości ma swoje własne aksjomaty, takie jak aksjomat wyboru, który pozostaje kontrowersyjny wśród niektórych matematyków. W praktyce aksjomaty definiują reguły gry. Zmieniając je, uzyskasz inną grę, czasem z zaskakującymi i użytecznymi rezultatami.

• Oświadczenie przyjęte bez dowodu
• Punkt wyjścia do logicznego wnioskowania
• Postulaty Euklidesa są klasycznym przykładem
• Różne zbiory aksjomatów dają różne systemy matematyczne