Todo o sistema lógico precisa de começar em algum lugar. Um axioma é uma afirmação tida como verdadeira sem necessidade de prova, servindo de ponto de partida para a derivação de outros resultados. Os axiomas não são arbitrários; são escolhidos por parecerem evidentes, úteis ou proveitosos para a construção de uma teoria consistente.

Os cinco postulados de Euclides para a geometria são o exemplo clássico. Durante séculos, foram tratados como verdades evidentes sobre o espaço físico. Quando os matemáticos questionaram o postulado das paralelas, surgiram geometrias não euclidianas, demonstrando que os axiomas são pressupostos, e não factos absolutos. A matemática moderna utiliza frequentemente o termo axioma de forma mais ampla, referindo-se a qualquer afirmação aceite dentro de um sistema formal.

A teoria dos conjuntos tem os seus próprios axiomas, como o axioma da escolha, que permanece controverso entre alguns matemáticos. Na prática, os axiomas definem as regras do jogo. Altere-os e terá um jogo diferente, por vezes com resultados surpreendentes e úteis.

• Declaração aceite sem comprovação
• Ponto de partida para a dedução lógica
• Os postulados de Euclides são o exemplo clássico.
• Diferentes conjuntos de axiomas geram diferentes sistemas matemáticos.