Elk logisch systeem moet ergens beginnen. Een axioma is een bewering die zonder bewijs als waar wordt aangenomen en dient als uitgangspunt voor het afleiden van andere resultaten. Axiomen zijn niet willekeurig; ze worden gekozen omdat ze vanzelfsprekend, nuttig of vruchtbaar lijken voor het opbouwen van een consistente theorie.

De vijf postulaten van Euclides voor de meetkunde zijn hiervan het klassieke voorbeeld. Eeuwenlang werden ze beschouwd als vanzelfsprekende waarheden over de fysieke ruimte. Toen wiskundigen het parallellenpostulaat in twijfel trokken, ontstonden niet-Euclidische meetkundes, waaruit bleek dat axioma's aannames zijn, geen absolute feiten. In de moderne wiskunde wordt de term axioma vaak ruimer gebruikt, verwijzend naar elke bewering die binnen een formeel systeem wordt geaccepteerd.

De verzamelingentheorie kent haar eigen axioma's, zoals het keuzeaxioma, dat onder sommige wiskundigen nog steeds controversieel is. In de praktijk bepalen axioma's de spelregels. Verander ze en je krijgt een ander spel, soms met verrassende en nuttige resultaten.

• Verklaring zonder bewijs geaccepteerd
• Uitgangspunt voor logische deductie
• De postulaten van Euclides zijn hiervan het klassieke voorbeeld.
• Verschillende verzamelingen axioma's leiden tot verschillende wiskundige systemen.