Ethvert logisk system må starte et sted. Et aksiom er en påstand som tas som sann uten bevis, og som tjener som et utgangspunkt for å utlede andre resultater. Aksiomer er ikke vilkårlige; de ​​velges fordi de virker selvinnlysende, nyttige eller fruktbare for å bygge en konsistent teori.

Euklids fem postulater for geometri er det klassiske eksemplet. I århundrer ble de behandlet som åpenbare sannheter om fysisk rom. Da matematikere stilte spørsmål ved det parallelle postulatet, dukket det opp ikke-euklidske geometrier som viste at aksiomer er antagelser, ikke absolutte fakta. Moderne matematikk bruker ofte begrepet aksiom løsere, og refererer til enhver påstand som aksepteres innenfor et formelt system.

Mengdelære har sine egne aksiomer, som for eksempel valgaksiomet, som fortsatt er kontroversielt blant noen matematikere. I praksis definerer aksiomer spillereglene. Endre dem, og du får et annet spill, noen ganger med overraskende og nyttige resultater.

• Uttalelse akseptert uten bevis
• Utgangspunkt for logisk deduksjon
• Euklids postulater er det klassiske eksemplet
• Ulike aksiomsett gir forskjellige matematiske systemer