Minden logikai rendszernek valahol el kell kezdődnie. Az axióma egy olyan állítás, amelyet bizonyítás nélkül igaznak veszünk, és kiindulópontként szolgál más eredmények levezetéséhez. Az axiómák nem önkényesek; azért választjuk őket, mert magától értetődőnek, hasznosnak vagy gyümölcsözőnek tűnnek egy konzisztens elmélet felépítéséhez.

Euklidész öt geometriai posztulátuma a klasszikus példa erre. Évszázadokon át a fizikai térrel kapcsolatos nyilvánvaló igazságokként kezelték őket. Amikor a matematikusok megkérdőjelezték a párhuzamos posztulátumot, nem-euklideszi geometriák jelentek meg, amelyek azt mutatták, hogy az axiómák feltételezések, nem abszolút tények. A modern matematika gyakran használja az axióma kifejezést lazábban, egy formális rendszeren belül elfogadott állításra utalva.

A halmazelméletnek megvannak a saját axiómái, például a választási axióma, amely továbbra is vitatott egyes matematikusok körében. A gyakorlatban az axiómák határozzák meg a játék szabályait. Megváltoztatva őket, egy más játékot kapunk, néha meglepő és hasznos eredményekkel.

• Bizonyíték nélkül elfogadott állítás
• A logikai dedukció kiindulópontja
• Euklidész posztulátumai a klasszikus példák
• Különböző axiómakészletek különböző matematikai rendszereket eredményeznek