Κάθε λογικό σύστημα πρέπει να ξεκινά από κάπου. Ένα αξίωμα είναι μια δήλωση που λαμβάνεται ως αληθής χωρίς απόδειξη, χρησιμεύοντας ως σημείο εκκίνησης για την εξαγωγή άλλων αποτελεσμάτων. Τα αξιώματα δεν είναι αυθαίρετα. Επιλέγονται επειδή φαίνονται αυταπόδεικτα, χρήσιμα ή γόνιμα για την οικοδόμηση μιας συνεπούς θεωρίας.

Τα πέντε αξιώματα του Ευκλείδη για τη γεωμετρία αποτελούν το κλασικό παράδειγμα. Για αιώνες αντιμετωπίζονταν ως προφανείς αλήθειες για τον φυσικό χώρο. Όταν οι μαθηματικοί αμφισβήτησαν το αξίωμα των παραλλήλων, εμφανίστηκαν μη Ευκλείδειες γεωμετρίες, δείχνοντας ότι τα αξιώματα είναι υποθέσεις, όχι απόλυτα γεγονότα. Τα σύγχρονα μαθηματικά χρησιμοποιούν συχνά τον όρο αξίωμα πιο χαλαρά, αναφερόμενοι σε οποιαδήποτε δήλωση γίνεται αποδεκτή εντός ενός τυπικού συστήματος.

Η θεωρία συνόλων έχει τα δικά της αξιώματα, όπως το αξίωμα της επιλογής, το οποίο παραμένει αμφιλεγόμενο μεταξύ ορισμένων μαθηματικών. Στην πράξη, τα αξιώματα ορίζουν τους κανόνες του παιχνιδιού. Αλλάξτε τα και θα έχετε ένα διαφορετικό παιχνίδι, μερικές φορές με εκπληκτικά και χρήσιμα αποτελέσματα.

• Δήλωση δεκτή χωρίς απόδειξη
• Σημείο εκκίνησης για λογική εξαγωγή συμπερασμάτων
• Τα αξιώματα του Ευκλείδη αποτελούν το κλασικό παράδειγμα
• Διαφορετικά σύνολα αξιωμάτων αποδίδουν διαφορετικά μαθηματικά συστήματα