Tout système logique a un point de départ. Un axiome est un énoncé tenu pour vrai sans démonstration, servant de fondement à la déduction d'autres résultats. Les axiomes ne sont pas arbitraires ; ils sont choisis parce qu'ils paraissent évidents, utiles ou pertinents pour l'élaboration d'une théorie cohérente.

Les cinq postulats d'Euclide en géométrie en sont l'exemple classique. Pendant des siècles, ils ont été considérés comme des vérités évidentes concernant l'espace physique. Lorsque les mathématiciens ont remis en question le postulat des parallèles, des géométries non euclidiennes ont émergé, démontrant que les axiomes sont des hypothèses, et non des faits absolus. En mathématiques modernes, le terme « axiome » est souvent employé de manière plus large, désignant toute proposition acceptée au sein d'un système formel.

La théorie des ensembles possède ses propres axiomes, comme l'axiome du choix, qui demeure controversé parmi certains mathématiciens. En pratique, les axiomes définissent les règles du jeu. Les modifier donne lieu à un jeu différent, parfois avec des résultats surprenants et utiles.

• Déclaration acceptée sans preuve
• Point de départ de la déduction logique
• Les postulats d'Euclide en sont l'exemple classique.
• Différents ensembles d'axiomes donnent lieu à différents systèmes mathématiques