Varje logiskt system måste börja någonstans. Ett axiom är ett påstående som tas som sant utan bevis, och fungerar som utgångspunkt för att härleda andra resultat. Axiom är inte godtyckliga; de väljs eftersom de verkar självklara, användbara eller fruktbara för att bygga en konsekvent teori.

Euklides fem postulat för geometri är det klassiska exemplet. I århundraden behandlades de som uppenbara sanningar om det fysiska rummet. När matematiker ifrågasatte det parallella postulatet framkom icke-euklidiska geometrier, som visade att axiom är antaganden, inte absoluta fakta. Modern matematik använder ofta termen axiom mer löst och hänvisar till alla påståenden som accepteras inom ett formellt system.

Mängdläran har sina egna axiom, såsom valaxiomet, vilket fortfarande är kontroversiellt bland vissa matematiker. I praktiken definierar axiom spelets regler. Ändra dem och du får ett annat spel, ibland med överraskande och användbara resultat.

• Uttalande accepterat utan bevis
• Utgångspunkt för logisk deduktion
• Euklides postulat är det klassiska exemplet
• Olika axiomuppsättningar ger olika matematiska system