任何逻辑系统都必须从某个起点开始。公理是无需证明即可被视为正确的陈述，它作为推导其他结论的出发点。公理并非随意选择；它们的选取是因为它们看似不言自明、有用，或者有助于构建一个自洽的理论。

欧几里得几何学的五条公设是经典的例子。几个世纪以来，它们一直被视为关于物理空间的不言而喻的真理。当数学家质疑平行公设时，非欧几何应运而生，这表明公理是假设，而非绝对事实。现代数学通常更宽泛地使用“公理”一词，指代任何在形式体系中被接受的陈述。

集合论有其自身的公理，例如选择公理，这条公理在一些数学家中仍存在争议。实际上，公理定义了游戏规则。改变公理，游戏规则就会改变，有时会产生令人惊讶且有用的结果。

• 声明被接受，无需提供证据
• 逻辑推理的起点
• 欧几里得的公设就是一个经典的例子。
• 不同的公理集会产生不同的数学系统