Jedes logische System braucht einen Anfang. Ein Axiom ist eine Aussage, die ohne Beweis als wahr angenommen wird und als Ausgangspunkt für die Ableitung weiterer Ergebnisse dient. Axiome sind nicht willkürlich; sie werden gewählt, weil sie selbstverständlich, nützlich oder vielversprechend für den Aufbau einer konsistenten Theorie erscheinen.

Euklids fünf geometrische Postulate sind das klassische Beispiel. Jahrhundertelang galten sie als unumstößliche Wahrheiten über den physikalischen Raum. Als Mathematiker das Parallelenaxiom in Frage stellten, entstanden nichteuklidische Geometrien, die zeigten, dass Axiome Annahmen und keine absoluten Tatsachen sind. In der modernen Mathematik wird der Begriff Axiom oft weiter gefasst und bezeichnet jede Aussage, die innerhalb eines formalen Systems akzeptiert wird.

Die Mengenlehre besitzt ihre eigenen Axiome, wie beispielsweise das Auswahlaxiom, das unter Mathematikern nach wie vor umstritten ist. In der Praxis definieren Axiome die Spielregeln. Ändert man sie, ergeben sich andere Spielregeln, die mitunter überraschende und nützliche Ergebnisse liefern.

• Aussage ohne Nachweis akzeptiert.
• Ausgangspunkt für logisches Schließen
• Euklids Postulate sind das klassische Beispiel
• Unterschiedliche Axiomensysteme ergeben unterschiedliche mathematische Systeme