Každý logický systém musí někde začínat. Axiom je tvrzení považované za pravdivé bez důkazu a sloužící jako výchozí bod pro odvozování dalších výsledků. Axiomy nejsou libovolné; jsou vybírány proto, že se zdají být samozřejmé, užitečné nebo plodné pro budování konzistentní teorie.

Klasickým příkladem je Euklidových pět postulátů geometrie. Po staletí byly považovány za zřejmé pravdy o fyzickém prostoru. Když matematici zpochybnili postulát rovnoběžky, objevily se neeuklidovské geometrie, které ukazují, že axiomy jsou předpoklady, nikoli absolutní fakta. Moderní matematika často používá termín axiom volněji a označuje jakékoli tvrzení akceptované v rámci formálního systému.

Teorie množin má své vlastní axiomy, například axiom volby, který je mezi některými matematiky stále kontroverzní. V praxi axiomy definují pravidla hry. Změňte je a dostanete jinou hru, někdy s překvapivými a užitečnými výsledky.

• Prohlášení přijato bez důkazu
• Výchozí bod pro logickou dedukci
• Euklidovy postuláty jsou klasickým příkladem
• Různé sady axiomů vedou k různým matematickým systémům