Teoria liczb bada liczby całkowite: ich podzielność, liczby pierwsze, kongruencje i wzorce. Jest to jedna z najstarszych gałęzi matematyki, sięgająca czasów Euklidesa i Diofantosa. Przez wieki uważano ją za czystą matematykę, bez praktycznego zastosowania. Sytuacja zmieniła się wraz z kryptografią.

Liczby pierwsze są kluczowe. Podstawowe twierdzenie arytmetyki głosi, że każda liczba całkowita większa od 1 rozkłada się jednoznacznie na liczby pierwsze. Rozkład liczb pierwszych pozostaje głęboką tajemnicą, związaną z hipotezą Riemanna, jednym z największych nierozwiązanych problemów matematyki.

Współczesna teoria liczb obejmuje analityczną teorię liczb, algebraiczną teorię liczb i obliczeniową teorię liczb. Stanowi podstawę szyfrowania RSA, kodów korekcji błędów i algorytmów haszujących. Kiedyś uznawana za bezużyteczną, obecnie zabezpiecza globalną komunikację. Dziedzina ta nagradza zarówno ciekawość, jak i rygoryzm w równym stopniu.

• Badanie liczb całkowitych i ich własności
• Liczby pierwsze i rozkład na czynniki są kluczowe
• Hipoteza Riemanna jest ważnym otwartym problemem
• Stanowi podstawę nowoczesnej kryptografii